Les hypocycloïdes sont des courbes mécanico-mathématiques, souvent utilisées dans des contextes éducatifs ou artistiques. Ces courbes sont engendrées par un point situé sur le périmètre d’un cercle roulant à l’intérieur d’un autre cercle. Dans cet article, nous explorerons leur définition mathématique, leurs équations paramétriques, ainsi que certaines de leurs propriétés.
Définition d’une hypocycloïde
Une hypocycloïde est une courbe plane générée par un point $P$ fixé sur un cercle de rayon $r$ qui roule sans glisser à l’intérieur d’un cercle fixe de rayon $R$.
Équations paramétriques de l’hypocycloïde
Pour tracer une hypocycloïde, nous utilisons des équations paramétriques. Soit $t$ un nombre réel représentant l'angle d'oscillation du cercle mobile. Les coordonnées $(x(t)\,;y(t))$ du point $P$ sont données par :
$$x(t)=(R-r)\cos(t)+r\cos\left( \dfrac{R-r}{r}t \right)$$
$$y(t)=(R-r)\sin(t)-r\sin\left( \dfrac{R-r}{r}t \right)$$
avec $R$ le rayon du grand cercle fixe, $r$ le rayon du cercle roulant.
Quelques propriétés des hypocycloïdes
1 - Le nombre de branches d'une hypocycloïde est égale au rapport $\dfrac{R}{r}$ si celui-ci est un entier.
Par exemple si $R=3r$ alors l'hypocycloïde est formée de $3$ branches.
2 - Si le rapport $\dfrac{R}{r}$ est un nombre rationnel alors la courbe est fermée et périodique. Par contre si $\dfrac{R}{r}$ est irrationnelle l'hypocycloïde ne se referme jamais.
Lien avec la cycloïde
La cycloïde est également une courbe engendrée par la trajectoire d'un point d'un cercle mais qui dans ce cas roule, toujours sans glisser, sur une droite et non pas à l'intérieur d'un cercle. On peut donc voir une cycloïde comme une hypocycloïde dégénérée où le cercle fixe sur lequel roule le cercle intérieur possède un rayon infini.
L’hypocycloïde dans un contexte pratique
Grâce à des dispositifs simples comme les engrenages du Spirographe, il est possible de tracer ces courbes avec une précision mécanique. En ajustant les rayons des cercles et les points de tracé, on peut explorer une variété infinie de motifs géométriques, allant des formes simples aux motifs très complexes.
Notre boutique propose une boîte à hypocycloïdes qui permet de recréer ces courbes mathématiques de manière ludique et éducative. Ce dispositif contient plusieurs engrenages et supports permettant de varier les rayons et d’explorer les propriétés des courbes.
