Francis Galton
Francis Galton (1822-1911), issu d'une famille de scientifiques et cousin de Charles Darwin, s'est illustré par ses contributions dans des disciplines variées comme la géographie, la météorologie, l'anthropologie et les statistiques. Précurseur de l’eugénisme et de la psychologie différentielle, il chercha à démontrer l’influence de l’hérédité sur les facultés intellectuelles dans l’idée d'améliorer l'espèce humaine. Galton est également connu pour ses innovations statistiques, dont certaines, comme le concept de régression vers la moyenne, restent fondamentales aujourd’hui. Parmi ses inventions figure la planche de Galton, un dispositif permettant d’observer les principes du hasard et la transition d’une distribution binomiale vers une distribution normale.
La planche de Galton
La planche de Galton, ou quincunx, est un dispositif mécanique imaginé par Francis Galton pour illustrer la manière dont des phénomènes aléatoires produisent des répartitions statistiques qui suivent une certaine forme d'organisation. Elle est composée de rangées successives de clous disposés en quinconce sous un entonnoir. Une bille, lâchée depuis le sommet, heurte à chaque ligne un clou, déviant aléatoirement à droite ou à gauche avec une probabilité a priori égale à $\frac{1}{2}$.
Ces déviations successives déterminent la position finale de la bille dans l’une des cases collectrices situées en bas de la planche. Lorsqu’un grand nombre de billes sont lâchées, elles forment une distribution en forme de cloche, caractéristique d’une réalisation d'une loi normale. Ce phénomène découle de la convergence des déviations aléatoires vers une répartition symétrique, illustrant les bases du théorème central limite.
La planche de Galton, la loi binomiale et le théorème de Moivre-Laplace
La planche de Galton illustre la connexion entre la loi binomiale et le théorème de Moivre-Laplace, une version préliminaire du théorème central limite. Lorsqu’une bille traverse $n$ rangées de clous, sa position finale est déterminée par le nombre de déviations vers la droite, modélisé par une variable aléatoire $K$ suivant une loi binomiale $\mathscr{B}\left(n, \, \frac{1}{2}\right)$.
Pour un grand nombre de rangées, la distribution binomiale de $K$ converge vers une loi normale $N(\mu, \, \sigma^2)$, avec $\mu=\frac{n}{2}$ et $\sigma=\sqrt{\frac{n}{4}}$.
Ce phénomène, décrit par le théorème de Moivre-Laplace, explique pourquoi les billes, malgré leur trajectoire individuelle aléatoire, se répartissent selon une courbe en cloche dans les cases collectrices au bas de la planche. Cette expérience illustre donc de manière visuelle le passage de l’aléatoire discret à une approximation continue.
Conception de la planche de Galton de la Boutique des Maths
De nombreux problèmes sont apparus lorsque nous avons conçu notre planche de Galton. Notamment le fait qu'une bille en métal, lorsqu'elle arrive sur un clou, ne rebondit pas légèrement à droite ou à gauche pour passer au clou juste à droite ou à gauche de la rangée suivante. Elle peut partir quasiment à l'horizontale, s'entrechoquer avec d'autres billes ou prendre une diagonale qui fait qu'elle ne rencontre alors plus aucun clou.
Nous nous sommes donc confrontés à divers problèmes de conceptualisation et avons dû imprimer 18 prototypes avant d'arriver à un résultat en corrélation avec les idées de Galton. C'est-à-dire ne plus se retrouver avec une répartition uniforme dans les cases du bas mais bien avec une répartition plus centrale. Cependant un tel principe mécanique ne pourra jamais illustrer l'expérience de pensée d'une bille qui saute d'un clou à l'autre. Le but est que le plus d'événements aléatoires supplémentaires sur les chocs des billes entre elles ou avec les clous se neutralisent le plus possible pour qu'une approximation d'une loi normale apparaisse.
La solution a été de faire en sorte que les billes arrivent sur les clous le plus verticalement possible, que la planche ne soit pas trop inclinée pour que les rebonds des billes ne se fassent pas avec trop d'énergie et que la zone des clous soit plus large que haute.
Après tous ces essais nous sommes fiers de vous présenter nos deux modèles de planche de Galton, l'un imprimé en PLA avec ajout de particules de bois et l'autre en PLA effet bronze.
Cet objet, à la fois décoratif et pédagogique, est le cadeau idéal pour les passionnés de mathématiques en général et de probabilités/statistiques en particulier.
Retrouvez-le sur www.laboutiquedesmaths.fr.
