Dodécaèdre étoilé

Le petit icosidodécaèdre ditrigonal, appelé « dodécaèdre étoilé » sur notre boutique, est un polyèdre étoilé semi-régulier.

Il possède 20 faces triangulaires, 12 faces pentagonales, 20 sommets et 60 arêtes.

Ces sommets correspondent à ceux du dodécaèdre régulier dans lequel il est inscrit.

Ce polyèdre n'étant pas régulier on peut se poser la question de la validité de la formule d'Euler qui annonce, en notant $S$ le nombre de sommets, $A$ le nombre d'arêtes et $F$ celui de sommets que :

$$S-A+F=2.$$

Puisque nous avons que $S=20$, $A=60$ et $F=20+12=32$, on obtient :

$S-A+F = 20-60+32$ $=$ $-8$.

La formule n'est pas vérifiée, mais elle est en fait généralisable par la formule de Poincaré qui dit que :

$$S-A+F=2-2g,$$

avec $g$ le genre du polyèdre, qui dans ce cas précis vaut $5$.

On peut d'ailleurs imaginer que le polyèdre ici présenté est obtenu à l'aide de cinq cubes, tous de même centre mais ayant subit des rotations à partir de ce point.

À partir d'un cube initial centré en $(0\,;0\,;0)$ et dont les arêtes sont parallèles aux axes du repère, on répète quatre fois la rotation d'axe la droite passant par l'origine du repère et dirigée par le vecteur $(1\,; \varphi \,;0)$ (avec $\varphi$ le nombre d'or) et d'angle $\dfrac{2\pi}{5}$.

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