La Planche de Galton et le théorème central limite : quand le hasard devient loi

Planche de Galton Objet de démonstration Voir le produit

La Planche de Galton et le théorème central limite : quand le hasard devient loi

La planche de Galton est l'un des rares dispositifs physiques qui donne à voir un théorème abstrait. En quelques secondes, des billes qui tombent en rebondissant sur un réseau de picots se répartissent suivant une courbe en cloche d'une régularité frappante. Cette régularité est l'expression expérimentale du théorème central limite, pilier de la théorie des probabilités moderne.

Le dispositif et son protocole

Une planche de Galton est constituée de $n$ rangées de picots disposés en quinconce. Une bille lâchée en haut rencontre à chaque rangée un picot et rebondit, avec une probabilité $p = 1/2$, à gauche ou à droite. Après $n$ rencontres, elle tombe dans l'un des $n+1$ bacs situés en bas.

Lorsqu'on répète l'expérience avec un grand nombre de billes, on observe que les bacs centraux se remplissent massivement tandis que les bacs extrêmes restent presque vides. Le profil du tas obtenu dessine une gaussienne.

Chaque picot, une expérience de Bernoulli

Modélisons. À la $k$-ième rangée, notons $X_k$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la bille part à droite, $0$ si elle part à gauche. Chaque $X_k$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 1/2$, et toutes les $X_k$ sont indépendantes.

La position finale de la bille (numéro du bac) est la somme

$$S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n.$$

Cette variable $S_n$ compte le nombre total de déviations à droite parmi $n$ essais indépendants : c'est la définition même d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n, 1/2)$.

La loi binomiale et le triangle de Pascal

La probabilité d'atterrir exactement dans le bac $k$ vaut

$$P(S_n = k) = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^n.$$

Les coefficients $\binom{n}{k}$ sont les nombres du triangle de Pascal. La forme en cloche du tas n'est donc rien d'autre que la ligne $n$ du triangle de Pascal, rendue visible par l'expérience.

L'espérance et la variance valent :

$$\mathbb{E}(S_n) = \frac{n}{2}, \qquad \mathrm{Var}(S_n) = \frac{n}{4}.$$

De la binomiale à la gaussienne : le théorème de Moivre-Laplace

Abraham de Moivre (1733), puis Laplace, ont établi que lorsque $n$ est grand, la loi binomiale est bien approchée par une loi normale de mêmes moyenne et variance :

$$\frac{S_n - n/2}{\sqrt{n/4}} \xrightarrow[n \to \infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1).$$

C'est précisément ce que l'on voit sur la planche : plus $n$ (le nombre de rangées) est grand, plus la silhouette du tas est régulière et proche de la courbe $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-x^2/2)$ adéquatement rééchelonnée.

Le théorème central limite

Le résultat de Moivre-Laplace est un cas particulier d'un énoncé bien plus général. Soient $X_1, X_2, \ldots$ des variables aléatoires indépendantes, de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ finies. Alors

$$\frac{X_1 + \cdots + X_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0, 1).$$

Autrement dit : la somme de nombreux petits aléas indépendants, quels qu'ils soient, tend vers une gaussienne. Ce théorème explique pourquoi la loi normale apparaît partout — tailles humaines, erreurs de mesure, bruit électronique, fluctuations boursières — dès lors qu'un phénomène résulte de l'addition d'un grand nombre de causes indépendantes.

Applications : pourquoi cela concerne tout le monde

  • Sondages — la marge d'erreur annoncée dans les enquêtes d'opinion est directement déduite du TCL.
  • Contrôle qualité — les cartes de contrôle en industrie supposent une distribution gaussienne des mesures.
  • Physique statistique — le mouvement brownien, la diffusion, la distribution des vitesses dans un gaz sont tous gouvernés par ce théorème.
  • Finance — les modèles classiques d'évaluation d'options (Black-Scholes) reposent sur une marche aléatoire dont la limite est une gaussienne.

Un objet de démonstration pour la salle de classe

Utiliser une planche de Galton en cours, c'est court-circuiter une difficulté pédagogique fréquente : la loi binomiale et la loi normale sont souvent présentées formellement. La planche donne aux élèves une preuve empirique du résultat, qu'on peut ensuite formaliser. La manipulation fonctionne du cycle 4 (découverte des probabilités et de la fluctuation d'échantillonnage) à la terminale (loi binomiale, loi faible des grands nombres), en passant par le post-bac (loi normale et TCL).

Notre planche de Galton est conçue pour être retournée d'un geste simple : les billes tombent, forment la cloche, on retourne à nouveau. La démonstration peut être refaite en quelques secondes, et la régularité du phénomène impressionne à chaque fois, y compris les publics qui connaissent déjà le résultat.