Brachistochrone et tautochrone : la cycloïde, courbe du temps minimal
Parmi toutes les courbes que peut emprunter une bille pour relier deux points sous l'action de la pesanteur, laquelle minimise le temps de parcours ? Contre-intuitivement, ce n'est ni la ligne droite, ni l'arc de cercle. La réponse, apportée à la fin du XVIIe siècle, est une des courbes les surprenantes des mathématiques : la cycloïde.
La cycloïde est donc une courbe brachistochrone. Elle cache une seconde propriété, tout aussi remarquable — elle est également tautochrone.
Le défi lancé par Jean Bernoulli (1696)
En juin 1696, Jean Bernoulli publie dans les Acta Eruditorum un problème adressé « aux mathématiciens les plus pénétrants du monde entier » :
Étant donnés deux points $A$ et $B$ dans un plan vertical, déterminer la courbe que doit suivre un point matériel pesant, sans frottement, pour aller de $A$ à $B$ en un temps minimal.
Ce problème, appelé brachistochrone (du grec brákhistos, « le plus court », et khrónos, « temps »), marque la naissance d'une branche nouvelle des mathématiques : le calcul des variations.
Pourquoi ni la droite, ni le cercle
L'intuition suggère la ligne droite — la distance est minimale. Mais le temps ne dépend pas que de la distance : il dépend aussi de la vitesse. Sur une droite peu inclinée, le grave accélère lentement ; il serait préférable de descendre plus vite au début, quitte à rallonger le chemin.
Galilée avait d'ailleurs conjecturé (à tort) que l'arc de cercle était optimal. Sa démonstration, publiée dans les Discorsi (1638), reposait sur une approximation qui masquait l'erreur. Jean Bernoulli, puis son frère aîné Jacques, ont établi que la vraie solution est autre.
La cycloïde : construction et équations
La cycloïde est la courbe engendrée par un point fixé sur la circonférence d'un cercle de rayon $R$ qui roule sans glisser sur une droite. Ses équations paramétriques, pour $\theta \in [0, 2\pi]$, s'écrivent :
Retournée (concavité vers le haut), elle devient la courbe brachistochrone recherchée.
Le principe de Fermat et l'intuition de Bernoulli
Jean Bernoulli a eu l'idée géniale de transposer le principe de Fermat — la lumière suit le trajet de temps minimal — à un problème de mécanique. Dans un milieu à indice de réfraction variable, la loi de Snell-Descartes impose :
En assimilant le grave à un rayon lumineux traversant des couches de vitesses croissantes $v = \sqrt{2gy}$ (conservation de l'énergie), la condition de Bernoulli impose à la tangente de la courbe de faire, avec la verticale, un angle $\alpha$ tel que $\sin\alpha / \sqrt{y}$ soit constant. L'intégration donne exactement la cycloïde.
La nuit blanche de Newton
Lorsque le défi de Bernoulli parvint à Newton (alors directeur de la Monnaie à Londres), il résolut le problème en une nuit et renvoya la solution anonymement. Jean Bernoulli, à la lecture, aurait déclaré : « ex ungue leonem » — on reconnaît le lion à sa griffe.
Le calcul des variations
La méthode moderne consiste à écrire le temps de parcours comme une fonctionnelle :
et à chercher $y(x)$ qui minimise $T$. L'équation d'Euler-Lagrange, appliquée à l'intégrande $F(y, y') = \sqrt{(1+y'^2)/(2gy)}$, fournit l'équation différentielle de la cycloïde. Ce formalisme, développé par Euler et Lagrange dans les décennies suivantes, sera au fondement de la mécanique analytique puis de la physique moderne.
La seconde merveille : la tautochronie
La cycloïde possède une autre propriété, démontrée par Huygens en 1659. Quelle que soit la hauteur de départ d'un grave sans frottement le long d'une cycloïde inversée, le temps mis pour atteindre le point le plus bas est le même. On dit que la courbe est tautochrone (de tautós, « identique »).
Autrement dit : deux billes lâchées simultanément de deux hauteurs différentes sur une même cycloïde se rejoignent au fond, au même instant. Ce résultat est à la base du pendule cycloïdal de Huygens, dont la période est rigoureusement indépendante de l'amplitude.
Du théorème au mécanisme de démonstration
Notre mécanisme « La Cycloïde » matérialise la courbe en la générant telle que Galilée l'avait décrite : un point fixé sur un cercle qui roule, par un système d'engrenages, trace la cycloïde sous les yeux de l'utilisateur. C'est un objet de contemplation, mais aussi un support de cours redoutablement efficace : il rend tangible un objet mathématique dont la rigueur fait souvent écran à l'intuition géométrique.
La cycloïde est à ce titre appelée l'Hélène des mathématiciens, en référence à la Guerre de Troie : tant de querelles entre Descartes, Fermat, Pascal, Roberval et les Bernoulli autour de cette courbe unique.
