Le décodeur binaire : un outil de maths du CM2 à la Seconde

Le décodeur binaire est un objet manipulable imprimé en 3D, composé de 9 volets rabattables. Chaque volet porte un 1 d'un côté et un 0 de l'autre, et masque ou révèle la puissance de 2 correspondante (de 1 à 256).

Plus qu'un outil d'informatique, c'est un outil de mathématiques : il fait travailler les puissances de 2, le calcul mental par addition, et la conversion base 10 → base 2 repose sur un algorithme glouton qui partage la même logique que la division euclidienne. Il s'utilise du CM2 à la Seconde, avec une progression naturelle.

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Activité 1 : du binaire vers le décimal — additionner ce qu'on voit (dès le CM2)

Durée : 15 minutes | Niveau : dès le CM2 | Idéal pour démarrer

Principe

C'est l'activité d'entrée. L'enseignant (ou un camarade) place les volets du décodeur sur une configuration, par exemple :

1 0 0 1 1

Les volets levés (sur 1) laissent apparaître les puissances de 2 correspondantes. L'élève lit directement les valeurs visibles et les additionne :

16 + 2 + 1 = 19

Pas de formule à retenir : l'élève additionne simplement ce qu'il voit sur l'objet. C'est du calcul mental avec des nombres qui tombent juste, sur un support concret.

Déroulement suggéré

1. Distribuer un décodeur par binôme
2. L'enseignant écrit un nombre binaire au tableau (commencer par 4-5 volets)
3. Les élèves positionnent les volets et calculent le résultat
4. Progression : augmenter le nombre de volets, observer que les résultats grandissent vite
5. Variante en autonomie : un élève configure le décodeur, son binôme calcule

Points de discussion

• Que se passe-t-il si tous les volets sont sur 1 ? (On obtient 1 + 2 + 4 + ... + 256 = 511)
• Pourquoi les nombres sous les volets doublent-ils à chaque position ?
• Au CM2, c'est aussi l'occasion de rencontrer les puissances de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32...) et de constater qu'elles grandissent très vite

Activité 2 : du décimal vers le binaire — chercher, vérifier, ajuster (dès le CM2)

Durée : 20-30 minutes | Niveau : dès le CM2

Le coeur pédagogique : le tâtonnement itératif

C'est ici que le décodeur binaire révèle toute sa richesse. L'élève doit trouver quelle combinaison de volets donne le nombre demandé. Mais contrairement à un exercice sur papier, il peut essayer : relever un volet, additionner ce qu'il voit, constater que c'est trop grand ou trop petit, rabattre le volet, en essayer un autre.

Chaque tentative génère du calcul mental. Chaque ajustement est un raisonnement : "J'ai 32 + 16 = 48, c'est trop pour 45, donc je rabats le 16 et j'essaie le 8...". L'élève formule des hypothèses et les vérifie immédiatement. Le fait que les volets basculent entre 0 et 1 rend ce va-et-vient naturel et sans stress — on peut toujours revenir en arrière.

Dans la vidéo de démonstration, on voit un enfant de CM2 convertir un nombre. Il hésite, essaie, se corrige — et c'est précisément ce tâtonnement qui fait travailler le calcul.

Exemple : trouver l'écriture binaire de 45

Tous les volets sont sur 0 au départ. Voici comment un élève pourrait procéder (le chemin n'est pas unique, c'est le principe !) :

On lit le résultat sur le décodeur :

1 0 1 1 0 1

45 en base 10 = 101101 en base 2

Notez la richesse en calcul mental : pour un seul nombre, l'élève a effectué des additions (32 + 16, 32 + 8, 32 + 8 + 4...), des comparaisons et des soustractions. Les erreurs font partie du processus : essayer le 64 puis le rabattre, tenter le 16 et voir que ça dépasse — chaque fausse piste est une occasion de calculer. Le décodeur transforme un exercice de conversion en un jeu de recherche.

Le passage vers l'algorithme (cycle 4)

Avec l'expérience, les élèves remarquent d'eux-mêmes une stratégie efficace : toujours commencer par la plus grande puissance de 2 possible, puis travailler avec le reste. C'est l'algorithme glouton, et il partage la même logique que la division euclidienne :

• Est-ce que 32 entre dans 45 ? Oui → on le prend, reste 13
• Est-ce que 16 entre dans 13 ? Non → on passe
• Est-ce que 8 entre dans 13 ? Oui → on le prend, reste 5
• ...

Au cycle 4, on peut alors formaliser ce que les élèves faisaient intuitivement au CM2 : une règle simple, répétée jusqu'à ce que le reste soit nul. Le décodeur aura posé les bases concrètes avant la formalisation abstraite.

Prolongement collège : programmer la conversion en Scratch

Une fois que les élèves maîtrisent la méthode manuelle, ils peuvent la coder en Scratch. L'algorithme se traduit naturellement :

L'élève retrouve dans le code exactement ce qu'il faisait avec ses mains : parcourir les puissances de 2 de la plus grande à la plus petite, et décider à chaque fois si on "relève le volet" ou non. C'est un excellent exercice d'algorithmique débranchée puis branchée.

Prolongement Seconde : la conversion en Python

En SNT ou en mathématiques, les élèves de Seconde peuvent implémenter l'algorithme en Python :

def decimal_vers_binaire(n):
    """Convertit un entier n en écriture binaire (algorithme glouton)."""
    if n == 0:
        return "0"

    resultat = ""
    puissance = 1
    while puissance <= n:
        puissance *= 2
    puissance //= 2  # plus grande puissance de 2 <= n

    while puissance >= 1:
        if n >= puissance:
            resultat += "1"
            n -= puissance
        else:
            resultat += "0"
        puissance //= 2

    return resultat

# Exemples
print(decimal_vers_binaire(45))   # 101101
print(decimal_vers_binaire(255))  # 11111111
print(decimal_vers_binaire(42))   # 101010

On peut ensuite comparer avec la fonction native bin() de Python et discuter : pourquoi le résultat de bin(45) commence-t-il par 0b ? C'est l'occasion d'introduire les conventions d'écriture des bases en informatique.

On peut aussi demander aux élèves de coder la conversion inverse (binaire → décimal) et faire le lien avec la formule :

def binaire_vers_decimal(b):
    """Convertit une chaîne binaire en entier (somme des puissances de 2)."""
    n = 0
    for i, bit in enumerate(reversed(b)):
        if bit == "1":
            n += 2 ** i
    return n

print(binaire_vers_decimal("101101"))  # 45

Récapitulatif : une progression sur 5 ans

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