Nous allons démontrer dans cet article la formule que présente le porte-stylo $\dfrac{\pi}{6}$ de la boutique, à savoir :
$$\dfrac{\pi}{6} = \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{2^{4n+1}(n!)^2(2n+1)}.$$
Pour obtenir cette formule, il va falloir utiliser la formule du binôme généralisée pour obtenir le développement en série entière de la dérivée d'arcsinus, puis intégrer celui-ci.
Formule du binôme généralisée
Pour tout réel $x$, tel que $|x|<1$ et pour tout réel $\alpha$, on a :
$$(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{+\infty}\binom{\alpha}{n}x^n,$$
avec $\displaystyle{\binom{\alpha}{n}=\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-(n-1))}{n!}}$.
En remplaçant $\alpha$ par $-\dfrac{1}{2}$ dans $\displaystyle{\binom{\alpha}{n}}$ on obtient :
$\displaystyle{\binom{-\frac{1}{2}}{n}}$ $=$ $\dfrac{\left( -\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2} \right)\left(-\frac{5}{2} \right)\cdots\left(-\frac{1}{2}-n+1 \right)}{n!}$
$=\dfrac{ (-1)^n 1\times3\times5\times\cdots\times (2n-1) }{2^n \times n!}$.
Au numérateur de ce dernier quotient on trouve le produit des nombres impairs jusqu'à $(2n-1)$. Ce produit est égale $ (2n)!$ divisé par le produit des entiers pairs de $2$ jusqu'à $2n$.
Or, $2\times4\times6\times\cdots\times (2n)$ $=$ $(2\times1)\times(2\times2)\times(2\times3)\times\cdots\times(2\times n)$ $=$ $2^n\times n!$.
Ainsi,
$\displaystyle{\binom{-\frac{1}{2}}{n}}$ $=$ $(-1)^n \dfrac{(2n)!}{2^n n!\times 2^n n!}$ $=$ $\dfrac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n} (n!)^2}$.
En remplaçant dans la formule du binôme généralisée $\alpha$ par $-\dfrac{1}{2}$ et $x$ par $-x^2$ on obtient alors :
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{-\frac{1}{2}}{n}(-x^2)^n }$
$ =\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} \times (-1)^n x^{2n} } $
$ =\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} x^{2n} } $,
car $(-1)^n\times (-1)^n = (-1)^{2n} = 1$.
On sait que la dérivée de $\arcsin(x)$ est égale à $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ donc en intégrant terme à terme la dernière série (sur le disque de convergence), on a :
$\arcsin(x)=\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} }$ $=$ $ \displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2(2n+1)} x^{2n+1} } $.
On utilise maintenant le fait que $\dfrac{\pi}{6} = \arcsin\left( \dfrac{1}{2} \right)$. On remplace alors $x$ par $\dfrac{1}{2}$ dans la dernière série :
$\dfrac{\pi}{6}$ $=$ $ \displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2(2n+1)} \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2n+1} } $
$=$ $ \displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2(2n+1)2^{2n+1}} } $
$=$ $ \displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(2n)!}{2^{4n+1} (n!)^2(2n+1)} } $.
Le porte-stylo avec cette formule est à retrouver sur la boutique :
https://laboutiquedesmaths.fr/portes-stylos/29-57-porte-style-pi6.html#/26-couleur-gris_fonce
